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第2章 数学趣题解析（第1页）

第2章数学趣题解析

1。分酒类问题（1）

决定了泊松一生道路的数学趣题泊松（PoissonS。-D，B。，1781。6。21~1840。4。25）法国数学家，曾任过欧洲许多国家科学院的院士，在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：某人有12品脱啤酒一瓶（品脱是英容量单位，1品脱=0。568升），想从中倒出6品脱。但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。怎样的倒法才能使8品脱的容器中恰好装入6品脱啤酒？分析与解答这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示。第一种解法：12

称球问题

称球问题是最经典的一道趣味数学题目，经常出现于各种智力游戏及智力测试中，最常见的题目如下所示：

12个球中，有一个重量与其他的11个不同，但不知道是重还是轻。给你一个天平，只许称3次把这个不标准的球找出来，应该怎么称呢？

分析与解答

首先强调说明两点：

（1）不规则的球不知是轻还是重，一共12个球，因此最后必定是24种可能。

（2）任何时候如果天平相等，那么天平上的球都是标准球，可以作为后续参考球。如果天平不相等，下次称的时候将其中的一部分球交换位置天平保持不变，那么交换的球都是标准球，反之如果天平发生变化则不标准球就在交换的球之中。

为了使读者查看方便，12个球用1~12（数字）进行标识，其中已确定是标准球的号码加括号注明：

第一次{1+2+3+4}比较{5+6+7+8}

如果相等，第二次{9+10}比较{（1）+11}

如果相等，证明是12球不规则，第三次和任意球比较，12或者重或者轻两种可能

如果{9+10}{（1）+11}

第三次9比较10，如果910并且{9+10}{（1）+11}证明是9重

同理如果9同理如果9=10，证明是11轻

如果{9+10}第三次9比较10，如果910并且{9+10}如果9如果9=10，证明是11重

至此刚好8种可能；

如果{1+2+3+4}{5+6+7+8}

第二次{1+2+5}比较{3+6+（9）}（关键把其中3，5球的位置交换）

如果相等，证明1，2，3，5，6为规则球，不规则球在4，7，8中（见说明2）

第三次7比较8，如果7=8并且{1+2+3+4}{5+6+7+8}证明是4重

如果7如果78，证明是8轻

如果{1+2+5}{3+6+（9）}

证明3，5，4，7，8为规则球，不规则球在1，2，6中

第三次1比较2，如果1=2并且{1+2+5}{3+6+（9）}证明是6轻

如果12，证明是1重

如果1如果{1+2+5}证明不规则球在3，5中（因为位置变化天平变化）

第三次随便比较1与3，如果1=3，证明是5轻

如果113不可能，因为已经有第一次{1+2+3+4}{5+6+7+8}

这样刚好也是8种可能。

同样道理，{1+2+3+4}同样还是称球的问题，如果12个球你解决了，接着再考虑一下如何解决13个球吧，条件完全相同，13个球中有一个非标准球，仍然是称3次找出来，13个球是称3次的极限了。

分析与解答

有了称12个球的经验，下面就解释得稍微简单一些了，分组方式为4，4，5。

第一次仍然为{1+2+3+4}比较{5+6+7+8}